Altın Oran ve Fibonacci Sayıları

Richard A. DUNLAP[1]

 

Charles Darwin’in, Türlerin Kökeni Üzerine adlı çalışmasında kullandığı varsayılan bu söz canlıların değişim ve çevreye uyum sağlamaları konusunda oldukça etkilidir aslında. Zaten insanoğlunun hayatı, evreni ve bu düzenin sistematiğini anlamaya yönelik çabaları tarih sürecinde hep daha ileri, daha iyi noktalara gelmesini sağlayan temel motivasyon olmuştur.

Doğayı ve doğadaki canlıları inceleyen araştırmacıların uzun süreler sonundaki çalışmaları ile buldukları sihirli anahtarlardan birisi de “Altın Oran”dır. Altın oranın, bitkilerin büyümeleri ve bazı belli katıların kristalografik yapılarından, veri tabanlarında arama yapmak için yazılan bilgisayar algoritmalarının geliştirilmesine kadar çok geniş uygulama alanları vardır. Ayrıca sanat eserlerinde, mimaride ve göze hoş gelen benzeri tüm çalışmalarda altın oranının kullanılmasının bu eserleri estetik açıdan kusursuzluğa yaklaştıran bir yönü olduğu da düşünülmektedir.

 

Altın oran en basit ifadesiyle; (1+√5)/2, o da yaklaşık olarak 1,618 değeri ile tanımlanan bir irrasyonel sayıdır. Genellikle Yunanca “τ” (tau) karakteri ile gösterilir ve temel olarak Şekil 1’de belirtildiği gibi bir dikdörtgenin uzun kenarının kısa kenarına oranı şeklinde hesaplanabilir. Tabi bu uygulamayı diğer geometrik şekillerle ve çok daha karmaşık matematiksel yöntemlerle de genelleştirebiliriz. Ancak değişmeyen bulacağımız sonucun 1,618 değerine yakınsaması olacaktır.

 

Şekil 1: Altın oranın dikdörtgen üzerinde gösterilmesi

Altın oranın oldukça şaşırtıcı bir şekilde karşımıza çıktığı uygulamalardan birisi de sayı dizileridir. Bir sayısal dizi; iyi tanımlanmış bir algoritma ile üretilen bir sıralı sayılar kümesidir. Bir sayı dizisi üretmenin en basit yöntemi bir veya iki çekirdek değer ve uygun bir yineleme bağıntısı kullanmaktır. Örnek olarak sıfır ve bir sayılarını çekirdek değerler, bağıntıyı da sayının kendinden bir önceki sayı ile toplanması [A_(n+2) = A_(n+1) + A_n]  şeklinde alırsak sayı dizimiz şöyle olacaktır:

                                     0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

İtalyan matematikçi Leonardo de Pisa, Arap sayı sistemi konusunda uzun süre çalıştıktan sonra İtalya’da 1202 yılında Liber Abaci (Hesaplama Yöntemleri, Abaküs Kitabı) adlı eserini yayınlamış ve ortaçağın en başarılı matematikçisi olarak saygınlık kazanmıştır. Filius Bonacci’nin (Bonacci’nin oğlu anlamında) kısaltılmış şekli ile Fibonacci olarak tanınan Leonardo yukarıdaki sayı dizisine de ismini vermiştir.

Bu sayı dizisinin ilginç olan yönü her terimin kendinden önceki terime oranının (n sonsuza giderken) 1,618 değerine yakınsamasıdır. Yani 8/5=1,6 iken 55/34=1,617 ve 377/233=1,618’dir.  Tesadüf olamayacak kadar etkileyici olan bu ilişkinin kusursuzluk ve mükemmellik yolunda bir anahtar, bütünlüğün temel taşı olduğunu düşünebiliriz.

Bu sayı dizisinin doğal yaşamdaki karşılığı ise daha da şaşırtıcıdır. Nautilus pompilius (sedefli deniz helezonu) olarak bilinen ve aşağıdaki resimde gösterilen bu canlı spiral büyümenin belki de en çarpıcı örneğini oluşturmaktadır. Bu hayvanın kabuğu çok sayıda odacıklar üzerine kuruludur. Hayvan büyüdükçe kullanılmayan daha küçük odacıkları kapatarak sarmal şeklinde giderek büyüyen odacıklar inşa eder. Ardışık odacıkların göreceli hacimleri muazzam bir şekilde altın oranla ilişkilidir. Başka bir deyişe, aşağıda gösterildiği gibi bir odanın hacminin kendinden bir önceki odanın hacmine oranı 1,618 sayısına eşit çıkmaktadır.

Nautilus pompilius

Çam kozalağı ve Ayçiçeği

Son olarak çam kozalağı ve ayçiçeğinin de büyüme oranlarının sarmallar ve fibonacci dizisi takip eden bir yapı izlemesi aslında doğanın gizemlerinin ne kadar yaygın ve sistematik bir içerikte olduğunu ortaya koymaktadır. Çünkü bu türlerin de her bir halkasında yer alan saat yönünde ve buna ters yönde ilerleyen diğer halkadaki diziliş oranı yine 1,618’e eşit olmaktadır.

 

Richard DUNLAP’ın kaleme aldığı Altın Oran ve Fibonacci Sayıları adlı eser yukarıda örneklerle açıklamaya çalıştığım kavramları çok daha karmaşık ve teorik boyutları ile ele almaktadır. Birçok çizim, teorik ispat ve biyolojik uygulamalarla çeşitlendirilmiş olan eseri okumak için ileri düzey matematik bilmeye de gerek yoktur. Hızlıca okunabilecek, ancak üzerine uzun süre düşünülmesi gereken bir kaynak olduğu kanaatindeyim. Ayrıca yazarın bu konuları incelerken bilim sınırlarında kalarak ne dini yorumlara ne de evrim teorisi çatışmasına girmemesi kanımca böylesi etkileyici bir konunun daha geniş kitlelere ulaşmasında önemli bir unsurdur.

 

 

Ergun UNUTMAZ, 29/11/2014

[1] Richard A. DUNLAP, Altın Oran ve Fibonacci Sayıları (The Golden Ratio and Fibonacci Numbers), (Çeviri: Prof. Dr. Bekir AKTAŞ), TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Üçüncü Basım – 2013, Ankara.