Logaritma

Önce, Anlamak Üzerine …

Dünyanın en komik stand-up gösterisinin sizi eğlendirmesi ve güldürmesi için ilk şart muhtemelen dil bilmek olacaktır. İletilen bir mesajın, anlatılan bir hikâyenin ve sunulan bir içeriğin değeri, anlaşılırlığı; anlatanın ve dinleyenin dil konusundaki karşılıklı becerileri ile doğru orantılı olarak belirlenmektedir. Evet sıra dışı bir örnek olarak belki Charlie Chaplin’in sessiz sinemayı kullanarak geniş kitlelere ulaştığı akla gelebilir; ancak oradaki mesajı anlamak için de aktarılan durumla bir bağ kurmak gerekmektedir. Dolayısı ile dil ve durum/içerik hakkında ön bilginin ne kadar kritik olduğunu daha baştan vurgulamak isterim. 

Matematik de benim okul yıllarımda genelde ezberlenecek formüller yığını, tablolar ve ispatlar şeklinde sunulduğu için o zamanlar bana işlerimi kolaylaştıracak, kararlarımı destekleyecek bir araç gibi görünmemişti. Nasıl harfleri öğrenmeden, şekiller çizmeden okuma yazma öğrenilemiyorsa, belki bu ilk aşama da bir gereklilikti, ama ikinci aşamaya geçişim bana matematiği sevdiren, ezberden ziyade mantığını anlamamı sağlayan ders kitapları dışındaki kaynaklarla tanışmamla oldu. 

Bu yazının konusu: “Logaritma”nın ne olduğu, matematiksel olarak gösterim ve hesaplama yöntemleridir. Ayrıca, finansal bir uygulama ile nerede ve neden kullanılması gerektiği karşılaştırmalı bir örnekle gösterilmiştir.

Logaritma Nedir? 

Logaritma sözcüğü, eski Yunanca bilim, yasa anlamına gelen lógos ve sayıları ifade eden arithmós sözcüklerinin birleşiminden oluşmaktadır. Tarihte bilinen ilk kullanımı da karmaşık trigonometrik hesapları basitleştirmek amacıyladır. Basitleştirme öncesi biraz karışıklık için, logaritmanın matematiksel tanımına şöyle bir göz atalım: 

a,b ∈ R⁺ olmak üzere, a > 0; b > 0 ve a ≠ 1 koşulları yerine getirildiğinde;

a^x = b denklemini sağlayan x sayısına log_ab denir. Okunuşuna gelince; b sayısının, a tabanında logaritması, x sayısına eşittir şeklinde bir ifade yeterli olacaktır. O hâlde şu şekilde bir genelleme yapabiliriz:

log_ab = x ve a^x = b 

Logaritma Ne İşe Yarar?

Yukarıdaki eşitlik bize aslında çok açık bir şey söylemektedir: Sıfırdan ve birden farklı pozitif bir “a” sayısının “x” şeklinde gösterilen kuvvetini aldığımızda yine sıfırdan ve “a”dan farklı olan pozitif bir “b” sayısına ulaşırız. (a için; sıfır üzeri sıfır belirsiz iken birin tüm kuvvetleri yine bire eşit olacağından a eşit b olur.) Üssel sayılar başlığı altında geçen bu konuya bir örnek vermek gerekirse 3 sayısının 4’üncü kuvveti demek, 3 sayısının kendisi ile 4 kere çarpılması demektir: 3 x 3 x 3 x 3 = 3⁴ = 81 (y = a^x).

İşte logaritma da en basit anlamda, bu üssel ifadelerin terse çevrilmesinden ibarettir. Yani 81 sayısının 3 tabanında logaritması hesaplandığında 4 değerine ulaşılır (log₃81 = 4). Başka bir deyişle 3 sayısının hangi üssünü aldığımızda 81 sayısını elde ederiz şeklinde düşünüldüğünde cevap kolay bir şekilde bulunur (x = log_ay).  

Anlamak Çözmeye Yetmez

Logaritmanın, mühendislik, tıp, kimya gibi alanlar yanında ekonomi ve finans branşlarında da sıklıkla kullanıldığı bilinmektedir. Peki bu logaritmik dönüşümlerin ifade ettiği şey nedir? Verilere logaritmik ölçekte bakmak bize ne gibi bir katkı sağlar?

Öncelikle verilerin linear (doğrusal) bir eksende sıralanması demek; seçilen bir noktadan başka bir noktaya geçiş sonunda, eksenin hangi yönünde gidildiğine bakılmaksızın, iki değer arasındaki farkın doğrusal olarak değiştiği anlamına gelmektedir. 

Diğer tarafan logaritmik ölçekle belirlenen bir eksende, bir noktadan bir noktaya geçiş üssel olarak gerçekleşeceği için aynı mesafe gibi görünen birimler arasındaki farklar çok daha büyük olacaktır. Başka bir deyişle, linear ölçekte sabit bir şekilde kat edilen mesafe toplama işlemi gibiyken, logaritmik ölçekte bu mesafe çarpma işlemi gibi olmaktadır. Bunun yanında, logaritma ile işlem yapmak, yukarıda basitlik sağlar ifadesi ile değinildiği gibi, çok büyük veya çok küçük sayılarla çalışırken, matematiksel bir kolaylık getirmektedir.

Finansal Bir Uygulama

Dil kursunu tamamlayıp işin mantığını anladığımıza göre şimdi bunu işimize yarayacak bir araç olarak kullanmaya geçebiliriz. Uygulama için bileşik faiz hesabı, ekonomik büyüme vb. çok daha iyi alanlar olsa da ben burada teknik analiz çerçevesinde; hisse senetleri fiyatlarının uzun dönem incelemesini esas alarak konuyu bir örnekle tamamlayacağım: 

Grafik 1’de, BIST 100 Endeksinin 2009 – 2019 yılları arasındaki 10 yıllık dönemdeki değerleri x ekseninde gösterilmektedir. Sağ taraftaki dikey eksende ise (y ekseni), Endeks seviyeleri Türk lirası bazında ve linear ölçekte sunulmuştur. Linear ölçekte iki mesafe arası hareketi burada on binlik dilimler olarak düşünelim. Endeks 10.000 iken alım yapan bir yatırımcı Endeks 20.000’e geldiğinde %100 kazançlı durumda olacaktır. Buradan 30.000 seviyesine çıkılması ise ikinci dönemde sadece %50 kazanç anlamına gelmektedir [(30.000 – 20.000) / 20.000 ]. Linear ölçek üzerinden yukarı gidildikçe değişimler hep eşit aralıkta olmasına rağmen getiriler azalan oranlarda olmaktadır. Bu yüzden uzun vadeli trend analizlerinde logaritmik ölçek kullanmak daha rasyonel bir analiz aracı niteliği taşımaktadır. 

Grafik 2’de yine BIST 100 için aynı döneme ait, ancak bu kez y ekseni değerlerinin logaritmik olarak sunulduğu veriler yer almaktadır. 10 yıl önceki 1.000 puanlık artış ile bugün yaşanan 1.000 puanlık artışın (Endeks tekrar 10 yıl önceki seviyesinde olmadıkça) aynı olmadığı ortadadır. Çünkü baz olarak alınan değer artık çok daha yüksektir. Bu da yüzdesel olarak 1.000 puanlık artışın bugün daha küçük olduğu anlamına gelmektedir. Yüzdesel getiri farkına ek olarak teknik analiz yürütürken trend kanallarının alt ve üst noktalarının belirlenmesinde de farklar olduğu hemen dikkat çekmektedir. Bu da, linear ölçekli grafikler üzerinden desteğin kırıldığı veya dirence yaklaşıldığı yönünde verilecek kararlarla gerçekleştirilecek işlemlerin aslında hatalı olabileceği şeklinde yorumlanabilir.

Ezberlenip unutulacak bilgiler yerine anlayışı güçlendirmeyi hedefleyen, buna ek olarak da logaritmayı trend dönüşümlerinde daha iyi bir karar verme aracı olarak ele alan, ama bunun garantisini de veremeyen bu yazıyı Albert Einstein’ın bir sözü ile bitirmek sanırım duruma da uygun olacaktır:  

“Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.”

Ergun UNUTMAZ, 14.11.2019

Trigonometri nedir, ne işe yarar şeklinde bir yazı ve uygulama örneği için eski bir yazımı, bağlantıya tıklayarak okuyabilirsiniz. 

**** 

Tabanı 10 olan logaritmaya “bayağı logaritma” denir ve yazılı gösterimde 10 sayısı kullanılmaz. (Örneğin, 10² = 100 için gösterim: log₁₀100 = 2 ve log100 = 2’dir.) Tabanı “e” olan logaritmaya ise “doğal logaritma” denir ve gösterimi “ln” şeklindedir (log_eb = lnb).